双曲型、抛物型和椭圆型偏微分方程的区别

时间：2025-01-08 作者：Jiaqi Z.

分类：小教程

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在数学物理方程（偏微分方程）中，我们了解了波动方程、热传导方程和泊松方程（或者拉普拉斯方程），并且也说，它们三个方程分别属于双曲型、抛物型和椭圆型。并且在“标准型”的讨论中，也了解了这些类型与$\mathrm{\Delta }$存在直接相关的关系。

当听到“双曲”、“抛物”和“椭圆”时，免不了会联想到圆锥曲线，可以证明（或者其他教材中所说的那样），任何一个圆锥曲线，都可以写作下面的方程所表示的曲线

$$A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$$

假设我们现在令$x$和$y$分别表示$\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}$和$\frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }y}$，且等式两边同时作用于函数$u$，则可以将上面的“圆锥曲线”写作下面的偏微分方程：

$$A{u}_{xx}+B{u}_{xy}+C{u}_{yy}+D{u}_x+E{u}_y+Fu=0$$

从而将这两个方程画上了“等号”。既然如此，我们就可以利用圆锥曲线的“形状”来定义微分方程的“类型”：

我们这里姑且不考虑参数$\mathrm{D,E}$，即只考虑最简单的$A{x}^2+Bxy+C{y}^2=0$这一“二次方程”。

• 假设这是一个椭圆方程，则利用已知的椭圆方程定义 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 不难得到$B=0$，且$A>0,C>0$，因此定义一个$\mathrm{\Delta }=B^2-AC$，可以得到对椭圆而言，$\mathrm{\Delta }>0$

• 对于抛物线而言，假设一个最简单的方程 $$y=x^2$$ 可以很容易得到$B=0$且$C=0$（若抛物线方程为$x=y^2$，则$A=0$），类似带入上面的$\mathrm{\Delta }$定义，可以得到对抛物线而言，$\mathrm{\Delta }=0$

• 对双曲线而言，其定义为 $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ 可以得到$B=0,A>0,C<0$，从而对双曲线而言，$\mathrm{\Delta }>0$。

代回微分方程

类似的讨论方法，让我们依次对三种“基本方程”进行讨论（假设我们只考虑齐次方程，因为非齐次项不影响方程类型）。

• 波动方程，其基本形式为 $$u_{tt}-a^2{u}_{xx}=0$$ 很显然，$A>0,B=0,C<0$，利用圆锥曲线的讨论，这一判定式说明它是双曲型。

• 热传导方程，其形式为 $$U_t-a^2{u}_{xx}=0$$ 其中，$A=0,B=0,C<0$，从而$\mathrm{\Delta }=0$，是抛物型

• Laplace方程，其形式为 $${\mathrm{\nabla }}^{2}u=0\Rightarrow u_{xx}+u_{yy}=0$$ 从而$A>0,B=0,C>0$，判断$\mathrm{\Delta }<0$，是椭圆型